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3.4. Ejercicios 83

3.4. Ejercicios

Desigualdad de Jensen

74. Convexidad y desigualdad de Jensen. Una funci´on u : a, b R
es convexa si para cualesquiera n´umeros x y en a, b , y para
cualquier t 0, 1 se cumple la desigualdad

u tx 1 t y tu x 1 t u y .

Geom´etricamente esta desigualdad significa que la recta que une
los puntos x, u x y y, u y se encuentra por arriba de la fun-
ci´on en el intervalo x, y .Cuando u es dos veces diferenciable, la
condici´on de convexidad se escribe u x 0. La desigualdad de
Jensen establece que si u es una funci´on convexa y X es una va-
riable aleatoria tal que tanto X como u X tienen esperanza finita,
entonces
u E X E u X .
Demuestre esta desigualdad en el caso cuando u es dos veces dife-
renciable siguiendo los siguientes pasos:

a) Escriba la serie de Taylor de la funci´on u alrededor de un punto
x 0 hasta la segunda derivada.

b) Use la condici´on u x 0 para concluir que u x u x 0
u x 0 x x 0 .

c) Sustituya x por X, x 0 por E X y despu´es tome esperanza en
ambos lados.

Funciones de utilidad y el principio de utilidad cero

75. Sean a 0y α 0 constantes. Demuestre que la funci´on v x
a 1 e αx definida para x 0, es una funci´on de utilidad y que
usada bajo el principio de utilidad cero determina que la prima para
cubrir un riesgo S debe ser p 1 ln M S α .
α
76. Suponga que una persona con capital u tiene dos opciones de in-
versi´on, las cuales le reportan ganancias o p´erdidas dadas por las