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3.2. Principios generales 79

El principio de Esscher establece que la prima para cubrir el riesgo S es la
esperanza de esta nueva funci´on de densidad, es decir,
1
hx
p xe f x dx
M S h 0
E Se hS
.
E e hS

Denotemos por p h a esta funci´on. Es claro que p 0 E S ypuede
demostrarse que p h es una funci´on creciente de h, v´ease el ejercicio 90. Por
lo tanto, p h p 0 E S . Esto demuestra que se cumple la condici´on de
ganancia neta y que mientras mayor es el par´ametro h mayor es la prima.
Habiendo definido la forma de calcular primas bajo este principio, vamos
a hacer algunas observaciones acerca de la funci´on de densidad (3.5), la
cual es la funci´on de densidad original ponderada por la funci´on creciente
x e hx M S h . La correspondiente funci´on de distribuci´on de (3.5) es

1 x
hy
G x e f y dy.
M S h 0
A esta funci´on tambi´en se le llama la transformada de Esscher de la funci´on
˜
de distribuci´on F x . Sea S una variable aleatoria asociada a esta funci´on de
distribuci´on. Algunos c´alculos sencillos muestran que la funci´on generadora
de momentos de esta nueva variable aleatoria est´a dada por
M S t h
M ˜ t .
S M S h

Principio del riesgo ajustado

Este principio, as´ı como el de Esscher, est´a basado en una transformaci´on
de la distribuci´on del riesgo. Para un riesgo S con funci´on de distribuci´on
F x se define una nueva funci´on de distribuci´on de la siguiente forma

G x 1 1 F x 1 ρ ,

en donde ρ 1 es un par´ametro conocido como el ´ındice del riesgo. Puesto
que 1 F x es un n´umero entre 0 y 1, y ρ 1, se cumple que

1 G x 1 F x 1 ρ
1 F x . (3.6)