Page 97 - riesgo2012

3.4. Ejercicios 87

89. Sea S un riesgo con distribuci´on gama γ, λ .

a) Demuestre que la transformada de Esscher de par´ametro h es
la distribuci´on gama γ, λ h , para 0 h λ.
b) Encuentre la prima mediante el principio de Esscher.
c) Verifique la condici´on de ganancia neta.

90. Condici´on de ganancia neta. Sea p h E Se hS E e hS la prima
para cubrir un riesgo S calculada mediante el principio de Esscher.
Demuestre que la funci´on diferenciable p h es creciente. En conse-
cuencia, p h p 0 E S .
Sugerencia: la desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para
dos variables aleatorias con segundo momento finito se cumple que
2
E XY E X 2 E Y 2 .

Principio del riesgo ajustado

91. Sea S un riesgo con distribuci´on exp λ .

a) Demuestre que la transformada del principio del riesgo ajus-
tado de par´ametro ρ es la distribuci´on exp λ ρ .
b) Encuentre la prima mediante el principio de riesgo ajustado
para cubrir el riesgo S.
c) Verifique la condici´on de ganancia neta para ρ 1.

92. Sea S un riesgo con distribuci´on Pareto a, b .

a) Demuestre que la transformada del principio del riesgo ajus-
tado de par´ametro ρ es la distribuci´on Pareto a ρ,b .
b) Encuentre la prima mediante el principio de riesgo ajustado
para cubrir el riesgo S.

c) Verifique la condici´on de ganancia neta para ρ 1.

93. Calcule la prima para cubrir un riesgo S con distribuci´on unif 0, 1
usando el principio del riesgo ajustado con ´ındice de riesgo ρ y
verifique la condici´on de ganancia neta.