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78 3. Principios para el c´ alculo de primas

f x

x
p

Figura 3.3

es decir, p 1 ln ϵ. As´ı, para este ejemplo particular, se cumple la condi-
λ
ci´on p E S si, y s´olo si, 1 ln ϵ 1 , es decir, ϵ e 1 .Esto muestra
λ λ
que el principio del porcentaje no produce en general primas que cumplen
la condici´on de ganancia neta.

Principio de Esscher
Antes de establecer este principio es necesario definir primero la transfor-
mada de Esscher de una distribuci´on de probabilidad para la cual existe la
funci´on generadora de momentos.

Transformada de Esscher. Sea S un riesgo con funci´on de densidad f x ,
funci´on de distribuci´on F x y para la cual existe la funci´on generadora
de momentos M S h , para algunos valores de h 0. La transformada de
Esscher con par´ametro h de f x es la funci´on

1
hx
x g x e f x . (3.5)
M S h
Es inmediato comprobar que esta funci´on es efectivamente de densidad.
Por ejemplo, puede demostrarse que la transformada de Esscher de la dis-
tribuci´on exponencial es nuevamente la distribuci´on exponencial pero con
par´ametro distinto (ejercicio 87). Cuando el par´ametro h es cero se obtiene
la funci´on de densidad original. La definici´on de transformada de Esscher
puede definirse de manera an´aloga para variables aleatorias discretas.