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3.2. Principios generales 75

en donde u es el capital inicial de la aseguradora. Es decir, la utilidadque
representa para la aseguradora el capital inicial u debe ser id´entica a la utili-
dad esperada al cubrir el riesgo. As´ı, el c´alculo de p est´a dado impl´ıcitamente
por la ecuaci´on (3.1) y para que la prima est´e bien definida supondremos el
caso cuando esta ecuaci´on tiene una ´unica soluci´on p. Debemos mencionar,
sin embargo, que no es sencillo resolver de manera exacta ecuaciones de la
forma (3.1), pero pueden usarse m´etodos num´ericos para conocer p de ma-
nera aproximada. El siguiente ejemplo es un caso muy particular y at´ıpico
en donde se puede calcular con facilidad la soluci´on p de (3.1).

Ejemplo 3.1 Considere la funci´on de utilidad u x 1 e αx ,con α 0.
La prima se calcula como aquel valor de p que es soluci´on de la ecuaci´on

1 e αu E 1 e α u p S .
Despu´es de algunos c´alculos sencillos, de la identidad anterior se obtiene la
expresi´on
1
p ln M S α . (3.2)
α
Se presentan a continuaci´on algunos ejemplos de funciones de utilidad.
a) Funci´on de utilidad exponencial.
v x 1 e αx , α 0.

b) Funci´on de utilidad cuadr´atica.
2
v x x αx , α 0, para 0 x 1 2α .
c) Funci´on de utilidad logar´ıtmica.
v x α ln x, α 0.

d) Funci´on de utilidad de potencia fraccional.
α
v x x , 0 α 1.
Demostraremos a continuaci´on que el principio de utilidad cero produce
primas que cumplen la condici´on p E S . Por la desigualdad de Jensen
en el caso de funciones c´oncavas,

v u E v u p S
v E u p S
v u p E S .