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3.2. Principios generales 77

Por la desigualdad de Jensen para la funci´on convexa v, E v S v E S ,
o bien por la misma desigualdad para la funci´on c´oncava v 1 , v 1 E X
E v 1 X . Ambos caminos llevan a la desigualdad

p E S .

Ejemplo 3.2 Considere la funci´on de valor v x e αx 1,con α 0.
Bajo este principio, la igualdad (3.3) se escribe e αp 1 E e αS 1 ,lo
que lleva a la siguiente soluci´on, que es id´entica a (3.2),

1
p ln M S α . (3.4)
α

Principio exponencial
Este es el principio de utilidad cero aplicado a la funci´on de utilidad v x
1 e αx , con α 0. Y coincide tambi´en con el principio del valor medio
aplicado a la funci´on de valor v x e αx 1, con α 0. Hemos visto que
la prima calculada bajo estos principios es
1
p ln M S α .
α
Observe que en este caso la prima no depende del capital inicial u.Puede
verificarse directamente que p E S , lo cual hemos demostrado antes de
manera general.

Principio del porcentaje

Sea ϵ 0 una constante. El principio del porcentaje sugiere que la prima
p puede calcularse mediante la expresi´on que aparece abajo. El significado
geom´etrico de esta f´ormula se muestra en la Figura 3.3.

p ´ınf x 0: P S x ϵ .
De esta forma la probabilidad de que el riesgo exceda el monto de la pri-
ma debe ser peque˜no o ajustable mediante el par´ametro ϵ. A este princi-
pio tambi´en se le conoce tambi´en como principio de p´erdida m´axima. Por
ejemplo, si S sigue una distribuci´on exponencial de par´ametro λ, entonces
P S x e λx . Y por lo tanto p es aquel valor num´erico tal que e λp ϵ,