Page 47 - riesgo2012

1.6. Ejercicios 37

t
t 1 q qe .
c) M D j C j
d) M S t 1 q qe t n .

F´ormula de De Pril

16. Demuestre que la f´ormula recursiva de De Pril [ii] produce efecti-
vamente una funci´on de probabilidad.

17. A partir de la f´ormula de De Pril [ii] y siguiendo la misma notaci´on
de dicho enunciado, demuestre que:

a) E S nE X .
b) Var S nVar X .

18. Sean X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 variables aleatorias independientes con dis-
tribuci´on com´un como aparece en la tabla de abajo. Encuentre la
distribuci´on de X 1 X 2 X 3 X 4 .

j 0 1 2 3
f j 0.1 0.2 0.3 0.4

19. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes con distribu-
ci´on Ber p . Mediante la f´ormula de De Pril [ii] compruebe que la
variable S X 1 X n tiene distribuci´on bin n, p .
20. Sean X 1 y X 2 dos variables aleatorias independientes con id´enti-
ca distribuci´on Poisson λ . Use la f´ormula de De Pril [ii] para de-
mostrar que X 1 X 2 tiene distribuci´on Poisson 2λ .
21. Sean X 1 y X 2 dos variables aleatorias independientes con id´entica
distribuci´on bin n, p . Use la f´ormula de De Pril [ii] para demostrar
que X 1 X 2 tiene distribuci´on bin 2n, p .
x
n m n m
Sugerencia: .
j x j x
j 0
22. Variaci´on de la f´ormula de De Pril [ii]. Suponga que las variables
aleatorias X 1 ,... ,X n en la f´ormula de De Pril [ii] son estrictamente
positivas y toman valores en el conjunto 1, 2,... , con f 1 P X