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1.6. Ejercicios 39

b) g x f x n p n , para x 1.
n 1
26. A partir de la f´ormula encontrada para M S t en el modelo colectivo
de riesgo, encuentre nuevamente las expresiones para E S , E S 2
y Var S .
27. Considere el modelo colectivo de riesgo S N Y j , en donde
j 1
N tiene distribuci´on Poisson λ y Y sigue una distribuci´on log
2
normal m, σ .Demuestreque:
2
a) E Y exp σ 2 m .
2 2
b) E Y n exp nm n σ 2 , n 1.
c) Var Y e σ 2 1 exp σ 2 2m .
2
d) E S λ exp σ 2 m .
e) Var S λ exp 2σ 2 2m .
E S E S 3 1 2
f) α 3 : exp 3σ 2 .
Var S 3 2 λ

28. Transformada de Laplace-Stieltjes. La transformada de Laplace-
Stieltjes de una variable aleatoria X o de su funci´on de distribuci´on
se define como la funci´on

l X t E e tX e tx dF X x .

Sea P N t la funci´on generadora de probabilidad de la variable N.
Demuestre que para el modelo colectivo de riesgo se cumple la iden-
tidad
l S t P N l Y t .

29. Sea P X t E t X la funci´on generadora de probabilidad de una
variable aleatoria discreta X. Considere un modelo colectivo de ries-
go en donde las reclamaciones son discretas con valores en 0, 1,... .
Suponiendo la existencia de las funciones involucradas, demuestre
que se cumple la identidad

P S t P N P X t .