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1.6. Ejercicios 41

Modelo Poisson compuesto

36. Verifique la validez de las f´ormulas para el modelo Poisson com-
puesto que aparecen en la Proposici´on 1.8 de la p´agina 25.

37. Para el modelo Poisson compuesto, demuestre las siguientes f´ormu-
las:
3 3
2
a) E S 3 λµ 3 3λ µ 2 µ λ µ .
b) E S E S 3 λµ 3 .
E S E S 3 µ 3
c) α 3 : 0.
Var S 3 2 λµ 3
2
38. Demuestre las f´ormulas para el modelo Poisson compuesto asociado
de la p´agina 26.

39. Sean F 1 x y F 2 x dos funciones de distribuci´on con funciones ge-
neradoras de momentos M 1 t y M 2 t respectivamente. Demuestre
que para cualquier α 0, 1 , la funci´on αF 1 x 1 α F 2 x es
una funci´on de distribuci´on cuya funci´on generadora de momentos
asociada es αM 1 t 1 α M 2 t . Este resultado fue utilizado
en el an´alisis de la suma de dos riesgos con distribuci´on Poisson
compuesta.

40. Sean S 1 ,... ,S n riesgos independientes con distribuci´on Poisson com-
puesta con par´ametros λ 1 ,... , λ n , respectivamente. Suponga que
los montos de las reclamaciones de estos riesgos son Y 1 ,... ,Y n ,
con funci´on de distribuci´on G 1 x ,... ,G n x , respectivamente. De-
muestre que el riesgo S S 1 S n tambi´en sigue una dis-
tribuci´on Poisson compuesta con par´ametro λ λ 1 λ n ,y la
funci´on de distribuci´on de las reclamaciones es

λ 1 λ n
G x G 1 x G n x .
λ λ
41. Sean S 1 y S 2 dos riesgos independientes, el primero con distribuci´on
Poisson comp λ 1 ,F 1 con λ 1 50, y el segundo con distribuci´on
Poisson comp λ 2 ,F 2 con λ 2 100, en donde F 1 x m´ın x, 1
para x 0, y F 2 x 1 e x para x 0. Encuentre la distribuci´on