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32 1. El modelo individual y el modelo colectivo

tipo k est´a dado por la variable

N k
k
S k Y j ,
j 1
k
en donde Y j es una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on

P Y j x, Y j A k
G k x P Y j x Y j A k .
P Y j A k
Por lo anterior, el riesgo S k tiene distribuci´on Poisson compuesta con par´a-

metros λp k y G k x . En particular, cuando A k x k 1 ,x k , con 0 x 0
x m , la funci´on de distribuci´on G k x tiene la siguiente forma:
x 1
0 si x x k ,
G x G x k 1
G k x si x k 1 x x k ,
G x k G x k 1
1 si x x k .

Modelo Poisson compuesto mixto

Cuando el n´umero de reclamaciones N tiene una distribuci´on Poisson λ y
el par´ametro λ es a su vez una variable aleatoria, se dice que el riesgo S
tiene una distribuci´on Poisson compuesta mixta. Algunas caracter´ısticas de
este modelo se muestran a continuaci´on.

Proposici´on 1.11 Si N tiene distribuci´on Poisson Λ en donde Λ es una
variable aleatoria con funci´on de distribuci´on F Λ λ ,entonces
λ n
a) P N n e λ dF Λ λ .
0 n!
b) E S E Λ µ.
2
2
c) E S 2 E Λ µ 2 E Λ µ .
d) Var S Var Λ µ 2 E Λ µ 2 .

e) M S t M Λ M Y t 1 .