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34 1. El modelo individual y el modelo colectivo

3. Considere el modelo individual de riesgo en donde D j tiene distribu-

ci´on Ber q ,es decir, q j q 0 es constante. Suponga adem´as que
cada reclamaci´on C j es constante c 0, es decir, se trata de una
misma suma asegurada para todos. Encuentre una expresi´on para
la esperanza y la varianza de S.

4. Considere el modelo individual para un portafolio de n p´olizas de
seguros de vida. Suponga que el j-´esimo asegurado tiene una suma
asegurada constante c j .Demuestre que:
n
a) E S q j c j .
j 1
n
2
b) Var S q j p j c .
j
j 1
5. Demuestre que si f 1 x ,... ,f n x son funciones diferenciables que
no se anulan, entonces

n n n
d f x
j
f j x f j x .
dx f j x
j 1 j 1 j 1
Use esta f´ormula y la expresi´on encontrada para M S t en el modelo
individual de riesgo para encontrar nuevamente E S y Var S .
6. Para un riesgo S que sigue el modelo individual demuestre que:

n
a) E S 2 q j E C j 2 q i q j E C i E C j .
j 1 i j
n
b) E S 3 q j E C j 3 3 q i q j E C i E C j 2
j 1 i j
q i q j q k E C i E C j E C k .
i,j,k
distintos
7. Suponga que D y C son dos variables aleatorias independientes tales
que D tiene distribuci´on Ber q y C se distribuye exp λ . Calcule
y grafique la funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria mixta
DC.