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42 1. El modelo individual y el modelo colectivo

de S S 1 S 2 y la funci´on de distribuci´on de las reclamaciones
del riesgo S.

42. Sean S 1 y S 2 dos riesgos independientes con distribuci´on Poisson
compuesta, el primero Poisson comp λ 1 ,F 1 con λ 1 10, y el se-
gundo Poisson comp λ 2 ,F 2 con λ 2 20. Suponga que las reclama-
ciones de ambos riesgos son de magnitud 50 o 100, y por lo tanto
tienen la siguiente funci´on de distribuci´on:

0si x 50,
F x p si 50 x 100,
1si x 100.

Suponga que el par´ametro p es igual a 1 2 para el primer riesgo y es
1 3 para el segundo riesgo. Encuentre la distribuci´on de S S 1 S 2
y la funci´on de distribuci´on de las reclamaciones del riesgo S.

43. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes
cada una de ellas con distribuci´on Ber p ysea X 0 0. Sea N otra
variable aleatoria con distribuci´on Poisson λ independiente de las
anteriores. Defina la variable

N
X X i .
i 0
Demuestre que X tiene distribuci´on Poisson λp . Esta variable tiene
la siguiente interpretaci´on: si N representa el total de siniestros
ocurridos y cada siniestro es reportado con probabilidad p, entonces
X representa el total de siniestros ocurridos y reportados.

44. Sea Y una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on F y ,y
sean a b dos n´umeros tales que F a F b .Demuestre que la
funci´on de distribuci´on condicional de Y dado el evento Y a, b
es
0 si y a,
F y F a
F y Y a, b si a y b,
F b F a
1 si y b.