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1.6. Ejercicios 33

Para obtener las identidades que aparecen en esta proposici´on es suficiente
condicionar sobre el valor de Λ. V´ease la secci´on de ejercicios para los ter-
ceros momentos de este modelo.

Comentarios y referencias

Hemos presentado dos modelos de riesgo con caracter´ısticas distintas: el
modelo individual y el modelo colectivo. En ambos casos se trata de una
variable aleatoria a la cual le hemos llamado riesgo y que engloba el total de
reclamaciones de un conjunto de asegurados durante un intervalo de tiempo
arbitrario pero fijo. Con el objetivo de cuantificar y tener control de estos
riesgos, el problema central ha sido encontrar las caracter´ısticas num´ericas
de estas variables aleatorias y mejor a´un, la distribuci´on de probabilidad de
ellas. As´ı, hemos encontrado varias expresiones para algunas caracter´ısticas
num´ericas de estos dos modelos de riesgo. Hemos tambi´en encontrado que,
bajo ciertas condiciones, las f´ormulas de De Pril pueden aplicarse para calcu-
lar la distribuci´on de probabilidad exacta de un riesgo que sigue un modelo
individual. Para completar estos primeros resultados, en el siguiente cap´ıtu-
lo veremos la f´ormula de Panjer que nos permitir´a aplicar un mecanismo
recursivo para calcular la distribuci´on de probabilidad exacta de un riesgo
que sigue el modelo colectivo. El lector puede encontrar otras exposiciones
sobre el modelo individual y colectivo en las siguientes referencias: Bowers et
al. [7], Gerber [15], Klugman et al. [23].

1.6. Ejercicios

Modelo individual
1. Considere el modelo individual para un portafolio de n p´olizas de se-
guros. Bajo la notaci´on e hip´otesis usuales, demuestre queel n´umero
esperado de reclamaciones es q 1 q n .

2. Para un modelo individual de riesgo, encuentre la distribuci´on de
probabilidad del n´umero total de reclamaciones en una cartera de n
asegurados cuando D j tiene distribuci´on Ber q ,es decir, q j q 0
es constante.