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30 1. El modelo individual y el modelo colectivo

Modelo Poisson compuesto con varios tipos de riesgos

Demostraremos ahora que la suma de riesgos independientes que siguen
el modelo Poisson compuesto tambi´en es Poisson compuesto. Esta es una
propiedad bastante ´util y generaliza el resultado de probabilidad que es-
tablece que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribu-
ci´on Poisson tiene nuevamente distribuci´on Poisson.

Proposici´on 1.9 Sean S 1 y S 2 dos riesgos independientes con distribuci´on
Poisson compuesta con par´ametros λ 1 y λ 2 ,yreclamaciones Y 1 y Y 2
con funci´on de distribuci´on G 1 x y G 2 x respectivamente. Entonces el
riesgo S S 1 S 2 tambi´en sigue una distribuci´on Poisson compuesta con
par´ametro λ λ 1 λ 2 ,y las reclamaciones tienen funci´on de distribuci´on

λ 1 λ 2
G x G 1 x G 2 x .
λ λ

Demostraci´on. Por independencia tenemos que

t t
M S 1 S 2 M S 1 t M S 2
exp λ 1 M Y 1 t 1 exp λ 2 M Y 2 t 1
λ 1 λ 2
exp λ M 1 t M Y 2 t 1 ,
λ Y λ
en donde λ 1 M 1 t λ 2 M 2 t es la funci´on generadora de momentos de
λ Y λ Y
la funci´on de distribuci´on G x λ 1 G 1 x λ 2 G 2 x . !
λ λ
El resultado anterior puede extenderse f´acilmente al caso S S 1 S n .
V´ease el enunciado del ejercicio 40 en la p´agina 41.

Modelo Poisson compuesto con reclamaciones clasificadas

Sea S un riesgo con distribuci´on Poisson compuesta de par´ametro λ. Supon-
ga que los montos de las reclamaciones pueden ser clasificadas en m cate-
gor´ıas excluyentes y exhaustivas denotadas por A 1 ,... ,A m . T´ıpicamente
estas categor´ıas pueden ser intervalos de valores para las reclamaciones. Sea