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1.5. Modelo colectivo Poisson 29

aleatorias, se obtiene entonces que el modelo colectivo Poisson compuesto
asociado es el l´ımite en distribuci´on del modelo individual cuando el n´umero
de p´olizas crece y las probabilidades de reclamaci´on son cada vez m´as
peque˜nas. As´ı, el argumento presentado en esta secci´on justifica el uso del
modelo Poisson compuesto en el caso cuando el portafolio es grande y las
probabilidades de reclamaci´on son peque˜nas. Para reforzar esta idea, el ar-
gumento informal que presentamos en el siguiente p´arrafo tambi´en favorece
al modelo Poisson compuesto bajo las condiciones l´ımites mencionadas.

El modelo Poisson compuesto asociado como l´ımite
del modelo individual: segunda argumentaci´on

Recordemos nuevamente que la funci´on generadora de momentos del riesgo
i
S es
n
M i t 1 q j M C j t 1 .
S
j 1
t 1 es peque˜no para valores peque˜nos
Observemos que el t´ermino q j M C j
3
2
de t. Usando la f´ormula ln 1 x x x 2 x 3 ,se puedeescribir
la aproximaci´on ln 1 x x.De modoque
n
ln M i t ln 1 q j M C j t 1
S
j 1
n
t 1
q j M C j
j 1
n
q j
λ M C j t 1 ,
λ
j 1
en donde λ q 1 q n . Por lo tanto,

n
q j
M i t exp λ M C j t 1 .
S
λ
j 1
Esta f´ormula corresponde a la funci´on generadora de momentos del riesgo
con distribuci´on Poisson compuesta, en donde los montos de las reclama-
ciones tienen funci´on generadora de momentos n q j t .
j 1 λ M C j