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1.5. Modelo colectivo Poisson 31

p k P Y A k 0 tal que p 1 p m 1. Sea N k el n´umero de
reclamaciones del tipo k. Entonces N N 1 N m ydebido a la inde-
pendencia de los montos en las reclamaciones, el vector N 1 ,... ,N m tiene
una distribuci´on condicional multinomial p 1 ,... ,p m ; n cuando N n,es

decir, para enteros no negativos n 1 ,... ,n m tales que n 1 n m n,la
distribuci´on multinomial establece que

n
P N 1 n 1 ,... ,N m n m N n p n 1 p n m
1 m
n 1 n m
n!
p n 1 p n m .
m
n 1 ! n m ! 1
La distribuci´on no condicional del vector N 1 ,... ,N m es el contenido del
siguiente resultado.

Proposici´on 1.10 Las variables aleatorias N 1 ,... ,N m son independientes
ycada variable N k tiene distribuci´on Poisson λp k .

Demostraci´on. Sean n 1 ,... ,n m enteros no negativos cualesquiera y sea
n la suma de todos estos n´umeros, es decir, n 1 n m n. Entonces

P N 1 n 1 ,... ,N m n m P N 1 n 1 ,... ,N m n m ,N n
P N 1 n 1 ,... ,N m n m N n P N n
n! λ n λ
p n 1 p n m e
m
n 1 ! n m ! 1 n!
n
λp k n k
e λp k .
n k !
k 1
Se desprende de esta igualdad que la variable N k tiene distribuci´on marginal
Poisson λp k . De esta identidad se verifica tambi´en la independencia. !

Observe que, condicionadas al evento N n , las variables N 1 ,... ,N m no
son independientes, mientras que sin tal condici´on, lo son. Por otro lado,
como los montos de las reclamaciones son independientes de N, el riesgo de