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28 1. El modelo individual y el modelo colectivo

cada p´oliza j de las n originales se reemplaza por k subp´olizas id´enticas, en
cada una de las cuales la probabilidad de reclamaci´on se define como q j k,y
la funci´on de distribuci´on del monto de una reclamaci´on esla misma G j y .
V´ease la Figura 1.9. En consecuencia, el portafolio consiste ahora de kn
subp´olizas en donde la probabilidad de reclamaci´on en cada una de ellas es
menor. No es de sorprenderse entonces que al hacer k tender a infinito se
obtenga un modelo Poisson.

Subp´oliza 1
..........
P´oliza
.......
.......
.......
.......
Subp´oliza k
..........

Figura 1.9

i
De este modo, si S denota el riesgo asociado al portafolio modificado,
k
entonces se tiene que
n
q j k
M i t 1 M C j t 1 .
S
k k
j 1
Se hace ahora tender k a infinito y usando el resultado l´ım 1 x k k e x
k
se obtiene
n
l´ım M i t exp q j M C j t 1
S
k k
j 1
n
exp q j M C j t λ
j 1
exp λ M Y t 1
M S t .
c
Puesto que la convergencia de funciones generadoras de momentos es equi-
valente a la convergencia en distribuci´on de las correspondientes variables