Page 37 - riesgo2012

P. 37

1.5. Modelo colectivo Poisson 27

n
a) E S c q j E C j .
j 1
n
b) Var S c q j E C 2 .
j
j 1
n
k
c) E Y k q j E C .
j
λ
j 1
n
q j
d) M Y t M C j t .
λ
j 1
Estas expresiones se siguen directamente de resultados previos acerca del
modelo Poisson compuesto y de las igualdades (1.4) y (1.5). Por ejemplo,
usando integrales de Riemann-Stieltjes (v´ease el Ap´endice que aparece al
c
ﬁnal del texto), el k-´esimo momento de una reclamaci´on del modelo S es,
n n
k
k
k
E Y k y dG y q j y dG j y q j E C .
j
0 j 1 λ 0 j 1 λ
De manera an´aloga se veriﬁcan las otras identidades. A modo de compara-
c
c
ci´on se tiene que E S i E S , mientras que Var S i Var S .
El modelo Poisson compuesto asociado como l´ımite
del modelo individual: primera argumentaci´on
i
c
Sea S el riesgo en un modelo individual y sea S el riesgo del modelo colec-
tivo Poisson compuesto asociado. Demostraremos que este modelo colectivo
puede ser obtenido como un proceso l´ımite en el modelo individual. Con-
sideremos entonces el modelo individual junto con la notaci´on e hip´otesis
usuales. Por resultados previos sabemos que

n
M i t 1 q j M C j t 1 .
S
j 1
Sea k un entero positivo cualquiera. De manera artiﬁcial y te´orica se constru-
ye ahora un nuevo portafolio de asegurados con las siguientes caracter´ısticas:

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42