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26 1. El modelo individual y el modelo colectivo

Modelo Poisson compuesto asociado al modelo individual

Considere el modelo individual de riesgo S i n D j C j , junto con la
j 1
notaci´on e hip´otesis correspondientes. El super´ındice i indica que se trata
de un modelo individual. A partir de este modelo se construye a conti-
nuaci´on un modelo colectivo con distribuci´on Poisson compuesta. Para ello
recuerde que ´unicamente se necesita establecer el valor del par´ametro λ de
la distribuci´on Poisson y la funci´on de distribuci´on G x del monto de las
reclamaciones. Sean entonces
n
λ q j , (1.4)
j 1
n
q j
y G x G j x , (1.5)
λ
j 1
en donde G j x es la funci´on de distribuci´on de la variable C j . Haremos
algunas observaciones sobre estas definiciones.

a) Mediante la primera igualdad se establece que el n´umero esperado de
reclamaciones en ambos modelos es el mismo.

b) En la segunda ecuaci´on se define a la funci´on de distribuci´on de
una reclamaci´on en el modelo colectivo como el promedio pondera-
do de las funciones de distribuci´on del monto de todas las reclama-
ciones en el modelo individual, siendo las ponderaciones los factores
q 1 λ,... ,q n λ. Como estos n´umeros conforman una distribuci´on de
probabilidad, el promedio resulta ser una funci´on de distribuci´on. Ob-
servamos que al agregar los distintos tipos de riesgo C j del modelo
individual para formar el modelo colectivo con reclamaciones Y j inde-
pendientes e id´enticamente distribuidas, se pierde el comportamiento
individual de los riesgos. As´ı, en la proporci´on en la que el j-´esimo
riesgo individual se agrega, esto es q j λ, as´ı es su contribuci´on en la
funci´on de distribuci´on de las reclamaciones en el modelo colectivo.

De esta forma se construye el modelo colectivo S c N Y j , al cual lla-
j 1
maremos modelo colectivo Poisson compuesto asociado al modelo individual,
en donde el super´ındice c indica que se trata de un modelo colectivo. Para
este modelo particular se cumplen las siguientes igualdades: