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256 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

d) De especial inter´es en la teor´ıa de la probabilidad es el caso cuando
F x es diferenciable. Bajo tal hip´otesis se tiene la igualdad

b b
h x dF x h x F x dx.
a a
En particular, tomando h x x ysi X es una v.a. absolutamente
continua con esperanza finita, con funci´on de distribuci´on F x yfun-
ci´on de densidad f x , entonces

E X xdF x xf x dx.

e) Otro caso interesante para la teor´ıa de la probabilidad ocurre cuando
h x es continua y F x es constante excepto en los puntos x 0 ,x 1 ,...,
en donde la funci´on tiene saltos positivos de tama˜no p x 0 ,p x 1 ,...
respectivamente. En este caso y suponiendo convergencia,

b
h x dF x h x i p x i .
a i 0
Esto significa que integrar respecto de la funci´on de distribuci´on de una
variable aleatoria discreta se reduce a efectuar una suma. Nuevamente
tomando h x x ysi X es una v.a. discreta con esperanza finita y
con funci´on de distribuci´on como se mencion´o antes, entonces

E X xdF x x i p x i .
i 0
En el caso cuando X es una v.a. mixta con esperanza finita, en el
c´alculo de la esperanza se separa la parte continua de la parte discreta
de la siguiente forma

E X xdF x xf x dx x i p x i .
i 0

Un tratamiento m´as riguroso y completo de la integral de Riemann-Stieltjes
puede encontrarse en el texto de probabilidad de Harris [18], o en libros de
an´alisis matem´atico como el de Apostol [1].