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8.10. Ejercicios 253
0 0 0
α 3 α 3 α 3
µ µ µ
Desigualdad de Jensen
Sea u una funci´on convexa y sea X una variable aleatoria tal que tanto X
como u X tienen esperanza finita. Entonces
u E X E u X .
En el caso cuando u es c´oncava, el resultado es
u E X E u X .
Una demostraci´on de la desigualdad de Jensen puede encontrarse por ejem-
plo en [17].
Desigualdad de Markov
Sea X una variable aleaotoria positiva con esperanza finita. Entonces para
cualquier ϵ 0,
E X
P X ϵ .
ϵ
La demostraci´on de este resultado es un buen ejercicio para el lector.
Esperanza condicional
Sean Ω, F,P un espacio de probabilidad, X una variable aleatoria con
esperanza finita y G una sub-σ-´algebra de F. La esperanza condicional de
X dado G es una variable aleatoria denotada por E X G que cumple las
siguientes tres propiedades:
1. Es G -medible.
2. Tiene esperanza finita.
3. Para cualquier evento G en G , E E X G 1 G E X 1 G .
