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260 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

c
a) La transformada de una constante c es L c s .
s
b) Linealidad: si α 1 y α 2 son constantes, entonces

s s s .
L α 1 ψ 1 α 2 ψ 2 α 1 L ψ 1 α 2 L ψ 2
c) La transformada de Laplace de la derivada de una funci´on es

L ψ s sL ψ ψ 0 .

u
d) La transformada de Laplace de la integral H u ψ x dx es
0
1
L H s L ψ s .
s
e) La transformada de Laplace de la convoluci´on de dos funciones es

s s ,
L ψ 1 ψ 2 L ψ 1 s L ψ 2
u
en donde ψ 1 ψ 2 u ψ 1 u x ψ 2 x dx. Observe sin embargo
0
la siguiente situaci´on particular: si G x es la convoluci´on de dos fun-
ciones de distribuci´on continuas F 1 x y F 2 x de variables aleatorias
no negativas, es decir,
x x
G x F 1 x y dF 2 y F 1 x y f 2 y dy F 1 f 2 x ,
0 0
en donde f 2 y es la funci´on de densidad de F 2 y , entonces
L G s L F 1 s L f 2 s sL F 1 s L F 2 s .

f) Existencia: se dice que una funci´on ψ u definida para u 0esde
orden exponencial cuando u tiende a infinito si existe una constante
u 0 tal que para todo u u 0 ,

cu
ψ u me ,
en donde m y c son constantes. Puede demostrarse que cuando esta
condici´on se cumple la transformada de Laplace L ψ s existe para
s c.