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8.10. Ejercicios 251

a) Γ α 1 α Γ α .

b) Γ α 1 α!cuando α es entero positivo.

c) Γ 2 Γ 1 1.

d) Γ 1 2 π.

Pueden consultars algunas otras propiedades de la funci´on gama en [36].

Funciones de utilidad
Una funci´on de utilidad es una funci´on v x que representa el valor o uti-
lidad que un individuo o instituci´on asocia a cada cantidad de un bien.
Matem´aticamente a una funci´on de utilidad se le define a trav´es de las
siguientes dos propiedades:

a) Es estrictamente creciente.

b) Es c´oncava.

Suponiendo diferenciabilidad, estas propiedades se escriben como v x 0
y v x 0, respectivamente. La primera propiedad representa el hecho evi-
dente de que una cantidad mayor de dinero siempre tiene un valor o utilidad
mayor. Para interpretar la segunda propiedad consideremos la situaci´on en
la que tanto una persona pobre como una persona rica incrementan ambos
su capital por una misma cantidad. Entonces este incremento representa
para una persona con poco dinero un gran incremento en su utilidad, mien-
tras que el mismo incremento representa un menor incremento en la utilidad
para una persona con mayor cantidad de dinero. En otras palabras, cuan-
do hay un incremento de capital fijo, el valor o utilidad crece m´as r´apido
cuando uno tiene poco dinero y m´as lento cuando uno tiene mucho dinero.
Dos funciones de utilidad u x y v x son equivalentes si existen constantes
a y b, con a 0, tales que v x au x b. La raz´on que subyace en esta
definici´on de equivalencia radica en el hecho de que si un persona con capital
x, funci´on de utilidad u x , y usando el principio de la utilidad esperada,
prefiere la inversi´on I 1 sobre la inversi´on I 2 si

E u x I 1 E u x I 2 ,