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8.10. Ejercicios 259

F´ormulas recursivas para calcular convoluciones
Sean X 1 ,X 2 ,... variables aleatorias independientes e id´enticamente dis-
X n .
tribuidas. Nos interesa encontrar la distribuci´on de S n X 1
Cuando las variables X i tienen funci´on de distribuci´on F, a la funci´on de
distribuci´on de S n se le llama la n-´esima convoluci´on de F, y se le denota
por F n ,esdecir, F n x P S n x . Cuando las variables X i tienen
funci´on de probabilidad o de densidad f, a la funci´on de probabilidad o de
densidad de S n se le llama la n-´esima convoluci´on de f, y se le denota por
f n , es decir, en el caso discreto, f n x P S n x .
1. Cuando las variables X i son discretas con valores en el conjunto
0, 1, 2,... , se cumplen las siguientes f´ormulas recursivas.
x
a) P S n x P S n 1 x j P X n j .
j 0
x
b) P S n x P S n 1 x j P X n j .
j 0
2. Cuando las variables X i son continuas con soporte en el intervalo
0, , con funci´on de distribuci´on F, y con funci´on de densidad f,se
cumplen las siguientes f´ormulas recursivas.
x
a) f n x f n 1 x y f y dy.
0
x
b) F n x F n 1 x y f y dy.
0

Transformada de Laplace
Para una funci´on ψ u : 0, R, la transformada de Laplace es

s L ψ s e su ψ u du,
0
para valores reales de s donde tal integral exista. Hemos usado la notaci´on
para la probabilidad de ruina ψ u como funci´on objeto en la transformada
de Lapace pues a este tipo de funciones se le aplicar´a con mayor frecuencia
esta transformaci´on. Cuando sea conveniente denotaremos la transformada
de Laplace tambi´en como L ψ u s . Revisaremos a continuaci´on algunas
propiedades que cumple esta transformaci´on.