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8.10. Ejercicios 257

Variables aleatorias mixtas
Una variable aleatoria mixta X es aquella que no es ni continua ni es dis-
creta. Su funci´on de distribuci´on puede escribirse de la siguiente forma
x
F x f u du p x i ,
x i x

en donde f u es una funci´on no negativa y p x i P X x i 0 para
ciertos valores x 0 ,x 1 ,... Si g es una funci´on tal que g X es una variable
aleatoria integrable, entonces su esperanza se calcula de la siguiente forma

E g X g x dF x g x f x dx g x i p x i .
i 0

En el libro de Gut [17] puede encontrarse un tratamiento completo sobre
variables aleatorias mixtas.

Varianza condicional
Sea X una variable aleatoria con segundo momento finito, y sea G una sub-
σ-´algebra de F. La varianza condicional de X dado G se define como la
variable aleatoria dada por

Var X G E X E X G 2 G .

Nuevamente, cuando la sub-σ-´algebra G es σ Y para alguna variable aleato-
ria Y , entonces Var X G se escribe Var X Y , y puede tomarse como
definici´on la igualdad

Var X Y E X E X Y 2 Y .

Se enuncian a continuaci´on algunas propiedades de esta variable aleatoria.

a) Var X , Ω Var X .

b) Var 1 A , Ω P A 1 P A .
2
c) Var X G E X 2 G E X G .
d) Var X E Var X G Var E X G .