Page 268 - riesgo2012

258 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Siendo la varianza condicional parte del concepto general de esperanza
condicional, en los textos de Karr [21] y Williams [40] se puede encontrar
mayor informaci´on sobre estas variables aleatorias.
Ley de los grandes n´umeros
Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enti-
camente distribuidas con media µ. Entonces

1 n
X i µ.
n
i 1
Cuando la convergencia es en probabilidad este resultado se conoce como la
ley d´ebil. Y cuando la convergencia es casi segura se llama ley fuerte. Las
demostraciones de estos resultados pueden encontrarse en [17].

Teorema central del l´ımite
Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enti-
2
camente distribuidas con media µ y varianza σ . Entonces
1 n µ
n i 1 X i d N 0, 1 .
2
σ n
La demostraci´on de este importante resultado as´ı como de los siguientes dos
teoremas de convergencia pueden encontrarse en [17].

Teorema de convergencia dominada
Sea X 1 X 2 una sucesi´on de variables aleatorias para la cual existe
otra variable aleatoria Y con esperanza finita y tal que X n Y , para
n 1. Si X n converge casi seguramente a una variable X, entonces tanto
X como X n tienen esperanza finita y

l´ım E X n E X .
n

Teorema de convergencia mon´otona
Sea 0 X 1 X 2 una sucesi´on mon´otona de variables aleatorias
convergente casi seguramente a una variable X. Entonces

l´ım E X n E X .
n