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8.10. Ejercicios 255

Integral de Riemann-Stieltjes
La integral de Riemann-Stieltjes generaliza a la integral usual de Riemann.
Se trata de la integral de una funci´on h x respecto de otra funci´on F x .
Su definici´on es an´aloga al caso de la integral de Riemann: si a x 0

x 1 x n b es una partici´on del intervalo a, b , entonces definimos
de manera informal
b n
h x dF x : l´ım h x i F x i F x i 1 ,
a ∆x 0 i 1

en donde ∆x es el m´aximo de las distancias x i x i 1 , y las funciones h x y
F x deben cumplir ciertas condiciones para que la integral tengasentidoy
est´e bien definida. En particular, a la funci´on integradora F x se le pide que
sea continua por la derecha, mon´otona no decreciente y tal que F b F a
M, para alg´un n´umero M 0. Observe que F x debe cumplir propiedades
semejantes a las de una funci´on de distribuci´on, justamente usaremos a
las funciones de distribuci´on como funciones integradoras. En particular,
cuando F x x sobre el intervalo a, b se tiene que
b b
h x dF x h x dx,
a a
suponiendo la existencia de tal integral. Igualmente, bajo la hip´otesis de
existencia de todas las integrales que aparecen a continuaci´on, la integral
de Riemann-Stieltjes cumple las siguientes propiedades:
a) Es lineal en el integrando, es decir,

b b b
αh 1 x h 2 x dF x α h 1 x dF x h 2 x dF x .
a a a
b) Es tambi´en lineal en el integrador, es decir,

b b b
h x d αF 1 x F 2 x α h x dF 1 x h x dF 2 x .
a a a

c) Cuando h x tiene primera derivada continua se cumple la siguiente
f´ormula de integraci´on por partes:

b b
h x dF x h b F b h a F a F x h x dx.
a a