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254 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Puede demostrarse que esta variable aleatoria existe y es ´unica casi se-
guramente, esto significa que si existe otra variable aleatoria con las tres
propiedades anteriores, entonces con probabilidad uno coincide con E X G .
Cuando G σ Y para alguna variable aleatoria Y ,se escribe E X Y en
lugar de E X σ Y . En particular, el t´ermino P A Y significa E 1 A Y .
Se enuncian a continuaci´on algunas propiedades de esta esperanza.

a) E X , Ω E X .

b) E 1 A , Ω P A .

c
c
c
c) E 1 A ,B,B , Ω P A B 1 B P A B 1 B .
d) E E X G E X . En particular, E P A Y E 1 A P A .
e) Si X es G -medible, entonces E X G X. En particular, si c es una
constante, entonces E c G c.

f) E aX Y G aE X G E Y G .
g) Si X 0, entonces E X G 0.

h) Teorema de convergencia mon´otona.
Si 0 X n X, entonces E X n G E X G c.s.

i) Teorema de convergencia dominada.
Si X n Y , E Y y X n X c.s., entonces E X n G
E X G c.s.
j) Desigualdad de Jensen.
Si ϕ es convexa, entonces ϕ E X G E ϕ X G .

k) Si H es una sub σ-´algebra de G , entonces E E X G H E X H .

l) Si Z es G -medible y acotada, entonces E ZX G ZE X G .

m) Si X es independiente de G , entonces E X G E X .

Un estudio m´as detallado de la esperanza condicional puede ser encontrado
en libros dedicados a probabilidad como [21] o [40].