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250 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

definida para valores reales de t tal que la suma indicada sea absolutamente
convergente. Esta funci´on se utiliza principalmente para variables aleatorias
discretas y sin p´erdida de generalidad se postula que la variable toma los
valores 0, 1,... y por lo tanto esta funci´on existe por lo menos para valores de
t en el conjunto 1, 1 . Para hacer ´enfasis en la variable aleatoria particular
X para la que se utiliza se escribe a veces como G X t . Esta funci´on cumple
las siguientes propiedades:
a) La funci´on generadora de probabilidad adquiere su nombre a partir
del siguiente resultado: para cada entero n 0,
d n
l´ım G X t P X n .
t 0 dt n

b) La funci´on generadora de probabilidad determina de manera ´unica a
la distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria, es decir, si X y
Y tienen la misma distribuci´on de probabilidad, entonces claramente
tienen la misma funci´on generadora de probabilidad. Inversamente, si
X y Y son tales que sus funciones generadoras de probabilidad G X t
y G y t coinciden en un intervalo no trivial alrededor del cero, entonces
X y Y tienen la misma distribuci´on de probabilidad.

c) Si el n-´esimo momento factorial de X existe, entonces
d n
l´ım G X t E X X 1 X n 1 .
t 1 dt n

d) Si X y Y son independientes, entonces

G X Y t G X t G Y t .

Para un estudio m´as detallado de la funci´on generadora de probabilidad, el
lector puede consultar el libro de Gut [17].

Funci´on gama
Para valores de α donde la integral es convergente se define

Γ α x α 1 e x dx,
0
y se cumplen las siguientes propiedades: