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8.8. F´ ormula de Pollaczek-Khinchin 239

De esta forma hemos encontrado que la transformada de Laplace de la pro-
babilidad de ruina coincide con la transformada de Laplace de la funci´on
G x 1 G x , en donde G x es la funci´on de distribuci´on geom´etrica
compuesta dada por (8.21) con las caracter´ısticas descritas en la Proposi-
ci´on 8.11. Por la unicidad de la transformada de Laplace tenemos que ambas
funciones deben ser iguales, es decir,
ψ u G u

n
p 1 p p H n u
n 1
p 1 p p n 1 H n u
n 1
n
1 p p H n u .
n 1
!

En general no es inmediato calcular las convoluciones de la funci´on de dis-
tribuci´on H u ni tampoco llevar a cabo la suma infinita que aparece en
la f´ormula de Pollaczek-Khinchin, pero sin duda es una f´ormula bastante
atractiva desde el punto de vista matem´atico pues, como hemos visto, esta
expresi´on corresponde a la cola de la distribuci´on de la variable aleatoria
geom´etrica compuesta dada por (8.21). Pueden llevarse a cabo simulaciones
de esta variable aleatoria, calcular la magnitud de las colas y conocer de ma-
nera aproximada la probabilidad de ruina cuando las reclamaciones tienen
distribuci´on continua arbitraria. A continuaci´on reduciremos la f´ormula de
Pollaczek-Khinchin a la soluci´on conocida para ψ u en el caso cuando las
reclamaciones son exponenciales.

Ejemplo 8.9 (Reclamaciones exponenciales) Suponga que las recla-
maciones tienen distribuci´on exponencial de par´ametro α.Entonces puede
comprobarse f´acilmente que H u es nuevamente la funci´on de distribuci´on
exp α .Por lo tanto, H n u es la funci´on de distribuci´on gama n, α y
tiene la expresi´on
αu k
H n u e αu .
k!
k n