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242 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Demostraci´on. La f´ormula de Pollaczek-Khinchin establece que

n
ψ u 1 p p H n u
n 1

p n 1 p P X 1 X n u ,
n 1
en donde X 1 ,X 2 ,... son v.a.s independientes con id´entica funci´on de dis-
tribuci´on
1 u
H u F y dy,
µ 0
con F y la funci´on de distribuci´on PH π,B . La idea es identificar los
sumandos como probabilidades condicionales de la siguiente forma:
N
ψ u P N n P X k u N n
n 1 k 1
N
P X k u ,
k 1
en donde N es una v.a. con distribuci´on geo 1 p ,es decir,

n
P N n p 1 p , n 0, 1,...
As´ı, puesto que conocemos la f´ormula (6.5) de la p´agina 153 para la cola
de una distribuci´on tipo fase y los Lemas 8.1 y 8.2 nos proporcionan los
par´ametros de dicha distribuci´on, podemos deducir que H x es

1
PH π B 1 ,B ,
µ
y por lo tanto la variable aleatoria geom´etrica es
1 1
PH p π B 1 ,B pb T π B 1 .
µ µ
Substituyendo estos par´ametros en el f´ormula (6.5) se obtiene el resultado
enunciado:
1 1
T
ψ u p π B 1 exp u B pb T π B 1 e .
µ µ