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8.8. F´ ormula de Pollaczek-Khinchin 235

3
Hemos usado la f´ormula E X 3 6 α , v´alida cuando X tiene distribuci´on
˜
exp α . Despejando λ de (8.16) y (8.17) e igualando,
1 2 1 3
λµ 2 ˜α λµ 3 ˜α .
2 6
Por lo tanto,
µ 2
˜ α 3 . (8.18)
µ 3
Sustituyendo en (8.16),
˜
λ 9 µ 3 2 λ. (8.19)
2 µ 2 3
Sustituyendo (8.18) y (8.19) en (8.15),

3 µ 2
˜ c c λµ 2 λ. (8.20)
2 µ 3
˜
De esta forma hemos encontrado los par´ametros ˜c, λ y˜α en t´erminos de los
par´ametros del riesgo original c, λ y los momentos de Y . !

No se espera que la aproximaci´on de De Vylder sea muy precisa pero es muy
interesante la idea de poder utilizar lo conocido para aproximar la soluci´on
desconocida de un problema general. El lector puede identificar el m´etodo
de momentos para la estimaci´on de par´ametros en la aproximaci´on de De
Vylder. No es dif´ıcil comprobar que la aproximaci´on de De Vylder es exacta
cuando las reclamaciones son exponenciales.

8.8. F´ormula de Pollaczek-Khinchin

La f´ormula de Pollaczek-Khinchin es una expresi´on generalque permite
escribir a la probabilidad de ruina en t´erminos de una serie infinita de con-
voluciones. La demostraci´on que presentaremos hace uso de la transformada
de Laplace de la cual se recuerda su definici´on y algunas propiedades en el
Ap´endice. Para obtener la f´ormula de Pollaczek-Khinchin se necesita cono-
cer primero la transformada de Laplace de una distribuci´on geom´etrica com-
puesta. Sea entonces X una variable aleatoria con distribuci´on geom´etrica