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8.10. Ejercicios 243
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Ejemplo 8.10 (Reclamaciones exponenciales) Consideremos nueva-
mente el modelo de Cram´er-Lundberg cuando las reclamacionessonexpo-
nenciales de par´ametro α. Esta vez consideraremos a la distribuci´on expo-
nencial como una distribuci´on tipo fase continua. El correspondientes gene-
rador infinitesimal de la cadena de Markov a tiempo continuo queproduce
el tiempo de espera hasta la absorci´on exponencial de par´ametro α es
0 0
G .
α α
La matriz B α yel vector b α son unidimensionales, µ 1 α y
p λ αc .Substituyendo estos t´erminos en la f´ormula (8.22) se obtiene
nuevamente la expresi´on
λ λ
u
ψ u e α c .
αc
Comentarios y referencias
En este cap´ıtulo final hemos estudiado algunos aspectos del modelo cl´asico
de riesgo a tiempo continuo llamado modelo de Cram´er-Lundberg. Hemos
encontrado expresiones para algunas probabilidades de ruina en este mo-
delo en t´erminos de ecuaciones diferenciales, integrales o ambas, y tambi´en
en algunos casos en t´erminos de sumas infinitas. Muchos otros problemas
matem´aticos pueden estudiarse para este modelo o para sus generalizacio-
nes. El lector interesado en profundizar en el tema puede consultar tex-
tos m´as avanzados como Asmussen [2] o Rolski et al. [32]. En el texto de
Schmidli [35] puede encontrarse una exposici´on sobre la interesante relaci´on
entre algunos problemas de riesgo y la teor´ıa del control estoc´astico.
8.10. Ejercicios
Modelo de Cram´er-Lundberg
170. Considere el proceso de Cram´er-Lundberg C t : t 0 con la no-
taci´on e hip´otesis usuales. Demuestre que:
