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234 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Proposici´on 8.10 (Aproximaci´on de De Vylder) Suponga que las
reclamaciones en el modelo de riesgo de Cram´er-Lundberg tienen tercer
momento finito. Entonces la probabilidad de ruina en este modelo tiene
como aproximaci´on la f´ormula

˜
λ
˜
ψ u e ˜ α λ ˜c u ,
˜ c ˜α
en donde

µ 2 9 µ 3 2 3 µ 2 2
˜ α 3 , ˜ λ, y ˜ c c λµ λ.
λ
µ 3 2 µ 2 2 µ 3
3

Demostraci´on. El m´etodo consiste en igualar los tres primeros momentos
˜
de las variables C t y C t . Primeramente veamos la igualaci´on de las esperan-
˜
E C t produce la ecuaci´on
zas. La condici´on E C t
1
u ct λµt u ˜ ct ˜ t.
λ
˜ α
De donde se obtiene
˜
λ
˜ c c λµ . (8.15)
˜ α
El siguiente paso es igualar las varianzas. De los resultados generales del
primer cap´ıtulo, recordemos que la varianza de un riesgo S que sigue un
modelo colectivo Poisson λ est´a dada por Var S λµ 2 . Por lo tanto, de
˜
la condici´on Var C t Var C t se obtiene
˜
λ
λµ 2 2 2 . (8.16)
˜ α
Hemos usado el hecho de que si X tiene distribuci´on exp α , entonces
2
E X 2 2 α . Finalmente, recordemos que el tercer momento central
de un riesgo S que sigue un modelo colectivo Poisson λ est´a dado por
E S E S 3 λµ 3 . Por lo tanto, la tercera condici´on E C t E C t 3
˜ ˜ 3
E C t E C t produce la ecuaci´on
˜
λ
λµ 3 6 3 . (8.17)
˜ α