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238 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Teorema 8.2 (F´ormula de Pollaczek-Khinchin) Considere el modelo
de riesgo de Cram´er-Lundberg en donde las reclamaciones tienen funci´on
de distribuci´on F y y media finita µ.Entonces la probabilidad de ruina
est´a dada por

n
ψ u 1 p p H n u ,
n 1
λµ 1 u
en donde p y H u F y dy.
c µ 0

Demostraci´on. Sabemos que la probabilidad de ruina satisface la ecuaci´on
integral

λ u
ψ u F y dy ψ u y F y dy
c u 0
λ u
µ F y dy ψ F u .
c 0
Tomando la transformada de Laplace de esta funci´on tenemos que

λ µ 1
L ψ s L s L ψ s L s ,
c s s F F
de donde se obtiene
λ µ L s
L ψ s cs F
1 λ L s
c F
λ µ p 1 p L s
cs F .
1 λ L s
c F
Definiendo p λµ c,sepuede escribir
p µ p 1 p L s
L ψ s s F
µ pL s
F
p L s
1 1 p F .
s µ pL s
F