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236 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

compuesta, es decir, una variable aleatoria de la forma

N
X U j , (8.21)
j 1

en donde N tiene distribuci´on geo 1 p , es decir, para n 0, 1, 2,...

P N n p n 1 p ,

y las variables U 1 ,U 2 ,... son independientes, no negativas, id´enticamente
distribuidas, y con funci´on de distribuci´on H x definida de la siguiente
forma particular
1 x
H x F y dy,
µ 0

en donde F y es una funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria no
negativa con media finita µ. Puede comprobarse que H x es efectivamente
una funci´on de distribuci´on. Siguiendo la misma notaci´onqueen elmode-
lo de Cram´er-Lundberg, F y representar´a la funci´on de distribuci´on del
monto de una reclamaci´on.

Proposici´on 8.11 Sea G x la funci´on de distribuci´on de la v.a. X con
distribuci´on geom´etrica compuesta dada por (8.21) junto con la notaci´on e
hip´otesis arriba enunciados. Para valores de s suficientemente peque˜nos, la
transformada de Laplace de G x 1 G x es
p L s
sx
e G x dx 1 1 p F .
0 s µ pL F s

Demostraci´on. Primeramente tenemos que

n
G x H n x 1 p p .
n 0