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8.8. F´ ormula de Pollaczek-Khinchin 237

Entonces

n
G x 1 1 p p H n x
n 0
n
p 1 p p H n x .
n 1
La transformada de Laplace de esta funci´on es

p
n
e sx G x dx 1 p e sx p H n x dx
0 s 0 n 1
p n sx n
1 p p e H x dx
s
n 1 0
p
n n 1
1 p p s L n s
s H
n 1
p 1 p
psL H s n
s s
n 1
p pL H s
1 p .
s 1 ps L H s
En la ´ultima igualdad hemos supuesto que s es suficientemente peque˜no
de tal forma que psL H s 1. A partir de la definici´on de H x puede
demostrarse que
1
L H s L s .
µs F
Por lo tanto,

p 1 p pL s
e sx G x dx F .
0 s s µ pL F s

!

Con la notaci´on e hip´otesis utilizadas en el modelo de Cram´er-Lundberg, te-
nemos el siguiente resultado importante: la probabilidad de ruina est´a dada
por la cola de la funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria geom´etrica
compuesta dada por (8.21), es decir, ψ u G x .