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8.9. Probabilidad de ruina con reclamaciones tipo fase 241

cap´ıtulo de procesos estoc´asticos. Para llegar a nuestro objetivo con mayor
rapidez, utilizaremos los siguientes dos lemas t´ecnicos cuyas demostraciones
pueden encontrarse en el texto de Rolski et al. [32].

Lema 8.1 Sea F y la funci´on de distribuci´on continua PH π,B con B no
0 ycon media µ finita. Entonces la funci´on de distribuci´on
singular, π 0
1 x
H x F y dy
µ 0

es nuevamente PH 1 π B 1 ,B .
µ
Lema 8.2 Sean U 1 ,U 2 ,... v.a.s independientes con id´entica distribuci´on
continua PH π,B ,en donde B es no singular y π 0 0.Sea N otra v.a. in-
dependiente de las anteriores y con distribuci´on geo p .Entonces la variable
aleatoria
N
X U j
j 1
correspondiente a un modelo geom´etrico compuesto tiene distribuci´on

T
PH pπ,B pb π .
Observe que el vector inicial pπ de la nueva distribuci´on tipo fase no es
de probabilidad pues la suma de sus entradas es p. La entrada cero de este
vector es 1 p y corresponde a la probabilidad de que la variable geom´etrica
tome el valor cero, es decir, la probabilidad de que no haya sumandos.

Teorema 8.3 (Probabilidad de ruina con reclamaciones PH)
Suponga que las reclamaciones en el modelo de Cram´er-Lundberg tienen
distribuci´on continua PH π,B con π 0 0,endonde lamatrizde subin-
tensidades B es no singular y se cumple la condici´on de ganancia neta
p λµ 1.Entonces para cualquier capital inicial u 0,
c
1 1
T
ψ u p π B 1 exp u B pb T π B 1 e . (8.22)
µ µ