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8.7. Aproximaci´ on de De Vylder 233

del intervalo 0, 2 c λµ λµ 2 . Este resultado fue usado en el Ejemplo 8.4.
Observe adem´as que cuando las reclamaciones est´an acotadas superiormente
por una constante positiva M, podemos usar la cota inferior para R para
encontrar una cota superior para la probabilidad de ruina sin conocer el
valor exacto del coeficiente de ajuste, pues

ψ u e Ru
u ln c λµ
e M
e ln λµ c u M
u M
λµ
.
c

Esta cota superior converge a 1 cuando M y por lo tanto se vuelve no
informativa. Cuando hacemos u , se corrobora que la probabilidad de
ruina se anula cuando el capital inicial es infinito.

8.7. Aproximaci´on de De Vylder

Consideremos nuevamente el modelo de riesgo de Cram´er-Lundberg en donde
las reclamaciones tienen distribuci´on arbitraria. De Vylder propone aproxi-
mar la probabilidad de ruina de este modelo mediante la probabilidad de
ruina de un modelo con reclamaciones exponenciales. Se define entonces el
proceso
˜
N t
˜ ˜
C t u ˜ ct Y j , (8.14)
j 1

˜
en donde ˜c es una nueva tasa de ingreso por primas, N t : t 0 es un proce-
˜
˜
so de Poisson de par´ametro λ,y Y j son variables aleatorias con distribuci´on
exp ˜α . Para lograr que los modelos tengan alg´un parecido se igualan los
tres primeros momentos de los dos procesos y se encuentran los valores de los
˜
par´ametros ˜c, λ y˜α en t´erminos de los par´ametros del riesgo original. As´ı, la
probabilidad de ruina en el modelo original se aproxima por la probabilidad
de ruina en el modelo con reclamaciones exponenciales.