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8.6. Desigualdad de Lundberg 231

Por lo tanto,

t
θ r θ 0 θ s ds
0
1
2
λµ c r λµ 2 r .
2
Evaluando la ´ultima desigualdad en R se obtiene

1
0 λµ c R λµ 2 R 2
2
1
λµ c λµ 2 R R.
2

Como R 0, la expresi´on en el par´entesis debe ser negativa. Despejando de
all´ı R se obtiene la cota superior anunciada. Demostraremos ahora la cota
inferior. Supongamos que Y M c.s. y defina la funci´on

x RM Rx
h x e 1 e 1 .
M

2 Rx
Entonces h x R e 0. Por lo tanto h x es una funci´on c´oncava
con h 0 h M 0. Esto quiere decir que h x 0 para 0 x M,es
decir,
x RM Rx
e 1 e 1 0,
M
obien,
x RM
Rx
e 1 e 1 . (8.11)
M
Sea g x xe x e x 1. Entonces g x xe x 0. Por lo tanto g x es una
funci´on creciente para x 0, es decir, g x g 0 0, para x 0. Por lo
tanto, xe x e x 1 0, para x 0. En particular, evaluando en x RM
se obtiene RMe RM e RM 1 0. Entonces

e RM 1
e RM . (8.12)
RM