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230 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

e Ru

1

u

Figura 8.5: Cota superior para la probabilidad de ruina.

Proposici´on 8.9 Si el coeficiente de ajuste R existe para la distribuci´on
de probabilidad de las reclamaciones en el modelo de Cram´er-Lundberg,
entonces
1 c 2 c λµ
ln R ,
M λµ λµ 2
en donde la primera desigualdad es v´alida bajo la hip´otesisadicional de que
Y M c.s., para alguna constante M 0.

Demostraci´on. Demostraremos primero la cota superior. Consideremos
nuevamente la funci´on θ r λ M Y r 1 cr, para r 0. Sabemos que
θ 0 0. Derivando esta funci´on dos veces se obtiene

θ r λM Y r c,
2 rY
θ r λE Y e
λE Y 2
λµ 2 .

En donde θ 0 λµ c. Por el teorema fundamental del c´alculo,
r
θ r θ 0 θ s ds
0
λµ c λµ 2 r.