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8.6. Desigualdad de Lundberg 229

el proceso detenido e RC t τ : t 0 tambi´en es una martingala. Ambos
procesos inician en el valor e Ru . Por lo tanto,

e Ru e RC 0

E e RC t τ
E e RC t τ τ t P τ t
E e RC t τ τ t P τ t
E e RC t τ τ t P τ t
E e RC τ τ t P τ t

e RC τ 1 τ t dP P τ t .

Haciendo t mon´otonamente, el evento τ t converge crecientemente
al evento τ . Usando el teorema de convergencia mon´otona puede
demostrarse que

e Ru E e RC τ τ P τ
E 1 τ P τ
P τ
ψ u .

!

Con ayuda de la desigualdad de Lundberg confirmamos que la probabilidad
de ruina se anula cuando el capital inicial crece a infinito, al menos en
situaciones cuando tal desigualdad es v´alida.
Como hemos visto, el coeficiente de ajuste no siempre existe, y aun cuando
conozcamos su existencia no siempre es f´acil calcularlo. El siguiente resul-
tado proporciona algunas cotas para el valor de este coeficiente, suponiendo
su existencia.