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228 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

nemos los siguientes c´alculos

E e rC t θ r t e θ r t E e r u ct N t Y j
j 1
e θ r t r u ct E e r N t Y j
j 1
e θ r t r u ct e λt M Y r 1
.

Finalmente tenemos la propiedad de martingala. Para 0 s t y por
la propiedad de incrementos independientes y estacionariosdel procesode
riesgo,

E e rC t θ r t F s e θ r t E e rC t F s
e θ r t E e r C t C s rC s F s
e θ r t rC s E e r C t C s
e θ r t rC s E e r c t s N t 1 Y j
j N s
N t s
r
e θ r t rC s rc t s E e j 1 Y j
e θ r t rC s rc t s e λ t s M Y r 1
e rC s θ r s .

!

En particular, si el coeficiente de ajuste existe, es decir, si θ R 0, entonces
el proceso e RC t : t 0 es una martingala. Este es el resultado clave para
demostrar la cota superior para la probabilidad de ruina.

Teorema 8.1 (Desigualdad de Lundberg) Suponga que el coeficiente
de ajuste R existe para la distribuci´on de las reclamaciones en el modelo de
riesgo de Cram´er-Lundberg. Entonces

ψ u e Ru .

Demostraci´on. Sea τ el tiempo de paro correspondiente al tiempo de
ruina. Como el proceso e RC t : t 0 es una martingala, se tiene que