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8.6. Desigualdad de Lundberg 227

Demostraci´on. Por la desigualdad de Markov, v´ease el Ap´endice,

F y P Y y
P e rY e ry

E e rY
e ry
M r e ry .

!

8.6. Desigualdad de Lundberg

Vamos a demostrar ahora que para aquellas distribuciones de probabilidad
que se supongan como distribuciones de las reclamaciones en el modelo
de Cram´er-Lundberg y para las cuales el coeficiente de ajuste R existe, se
cumple la desigualdad

ψ u e Ru .

Existen varias formas de demostrar este resultado. El m´etodo que pre-
sentaremos hace uso de la teor´ıa de martingalas.

Proposici´on 8.8 Sea C t : t 0 el proceso de riesgo de Cram´er-Lundberg
en donde la distribuci´on de las reclamaciones tienen a M Y t como funci´on
generadora de momentos. Sea θ r λ M Y r 1 cr.Entonceselsi-
guiente proceso es una martingala:

e rC t θ r t : t 0 .

Demostraci´on. La adaptabilidad del proceso es evidente pues impl´ıcita-
mente estamos usando la filtraci´on natural. Acerca de la integrabilidad te-