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8.5. El coeficiente de ajuste 221

El caso con ra´ız cuadrada positiva es inv´alido pues resulta r α,en efecto,
usando la condici´on de ganancia neta, c λ 2 α ,se obtiene

2αc λ λ 2 4αcλ 2c 2αc λ λ 2 8λ 2 2c
α λ c
α.

Por lo tanto la ra´ız con el signo negativo es el coeficiente de ajuste.

Ejemplo 8.4 Aplicaremos el m´etodo de Newton-Raphson para encontrar
de manera aproximada el coeficiente de ajuste cuando las reclamaciones
siguen una distribuci´on gama γ, α con γ 3.V´ease elAp´endice parauna
explicaci´on breve sobre este m´etodo num´erico. La condici´on θ r 0 produce
la siguiente ecuaci´on que puede reducirse a una ecuaci´on c´ubica en r,

g r λ α 3 α r 3 cr α r 3 0.

La ra´ız buscada r es tal que por restricciones de la funci´on generadora de
momentos debe satisfacer 0 r α. Tomaremos α 3, λ 1,y c 2.Se
han escogido estos valores de los par´ametros por simplicidad pero al mismo
tiempo cuidando que se verifique la condici´on de ganancia neta c λ 3 α .
El esquema general de Newton-Raphson es

g r n
r n 1 r n .
g r n
M´as adelante demostraremos que si el coeficiente de ajuste existe, entonces
´este se encuentra siempre dentro del intervalo 0, 2 c λµ λµ 2 .V´ease
el enunciado de la Proposici´on 8.9. Con base en este resultado, tomaremos
como condici´on inicial r 0 2 c λµ λµ 2 3 2.Usando estos datos, la
iteraci´on de Newton-Raphson arroja la siguiente sucesi´onde valores:

n r n
0 1.5
1 0.8333333
2 0.8405056
3 0.8404738
4 0.8404738