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220 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

momentos es M Y r α α r ,para r α.Entonces

θ r λ M Y r 1 cr
α
λ 1 cr
α r
r
λ cr
α r
λ
c r.
α r

De modo que θ r es cero cuando r 0,obien cuando λ α r c 0.
Despejando r de la segunda condici´on y escribiendo ahora R como la variable
se obtiene R α λ c.M´as a´un, por lo encontrado antes en el caso de
reclamaciones exponenciales, la probabilidad de ruina puede ahora escribirse
de la forma siguiente:

λ α λ c u λ Ru Ru
ψ u e e e ,
αc αc
en donde la desigualdad es consecuencia de la condici´on de ganancia neta.
Este tipo de cota superior para la probabilidad de ruina, llamada desigualdad
de Lundberg, ser´a demostrada m´as adelante para cualquier distribuci´on de
las reclamaciones para la cual el coeficiente de ajuste exista.

Ejemplo 8.3 (Reclamaciones gama) Suponga que las reclamaciones si-
guen una distribuci´on gama γ, α con γ 2.Lafunci´on generadora de
momentos es M Y r α α r γ ,para r α.Por lo tanto la funci´on
θ r correspondiente es

α γ
θ r λ 1 cr.
α r

La condici´on θ r 0 produce la ecuaci´on cuadr´atica

cr 2 r λ 2αc cα 2 2αλ 0,

cuyas ra´ıces son
2αc λ λ 2 4αcλ
r .
2c