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8.4. Severidad de la ruina 217

en donde la integral doble puede escribirse de la siguiente forma
u w u u
ϕ w y, x, z dF y dw ϕ w y, x, z dw dF y
0 0 0 y
u u y
ϕ v, x, z dv dF y
0 0
u u v
ϕ v, x, z dF y dv
0 0
u
ϕ v, x, z F u v dv.
0
Observe adem´as que
u u
1 w x F w z dw 1 u x F w z dw.
0 x
Por lo tanto,
λ u
ϕ u, x, z ϕ 0,x,z ϕ v, x, z 1 F u v dv
c 0
u
1 u x F w z dw
x
λ u
ϕ v, x, z F u v dv
c 0
u z
1 u x F y dy
x z
λ u
ϕ u y, x, z F y dy
c 0
u z
1 u x F y dy . (8.9)
x z
Haciendo u tender a infinito, ϕ u, x, z 0 y no es dif´ıcil demostrar que la
primera integral se anula. Por lo tanto se obtiene la identidad
λ
ϕ 0,x,z F y dy. (8.10)
c x z
Este el segundo inciso del enunciado. Sustituyendo (8.10) en la ecuaci´on (8.9)
y simplificando se obtiene el tercer inciso del enunciado. !