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216 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

se reduce a 1 u ct x . As´ı, tenemos que

ϕ u, x, z P τ ,X x, Z z T 1 t, Y 1 y dF y dF T 1 t
0 0
u ct
λe λt ϕ u ct y, x, z dF y dt
0 0
λe λt 1 u ct x dF y dt.
0 u ct z

Por lo tanto,

u ct
ϕ u, x, z λe λt ϕ u ct y, x, z dF y dt
0 0
λe λt 1 u ct x F u ct z dt.
0

Efectuando el cambio de variable s t u ct se obtiene

1 s
ϕ u, x, y λe λ s u c ϕ s y, x, z dF y ds
c u 0

λe λ s u c 1 s x F s z ds .
u

Derivando esta expresi´on respecto de u se encuentra el resultado del primer
inciso. Escribiendo w por u en la ecuaci´on diferencial encontrada e integran-
do entre 0 y u se obtiene

λ u
ϕ u, x, y ϕ 0,x,y ϕ w, x, z dw
c 0
u w
ϕ w y, x, z dF y dw
0 0
u
1 w x F w z dw ,
0