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218 8. Teor´ ıa de la ruina: tiempo continuo

Observe que tomando x 0y z 0, la ecuaci´on integral para ϕ u, x, z
se reduce a la ecuaci´on integral para la probabilidad de ruina con horizonte
infinito ψ u ,es decir,
λ u
ψ u ϕ u, 0, 0 F y dy ϕ u y, 0, 0 F y dy .
c u 0

Esta es la tercera ecuaci´on de la Proposici´on 8.1. Adem´as suponiendo cada
caso por separado, x 0o y 0, se obtienen f´ormulas integrales para las
probabilidades marginales de X yde Z, considerando siempre tiempo de
ruina finito. Es decir, para la variable Z tenemos que

λ u
ϕ u, 0,z F y dy ϕ u y, 0,z F y dy .
c u z 0
Para la variable X,
λ u u
ϕ u, x, 0 F y dy ϕ u y, x, 0 F y dy 1 u x F y dy .
c u 0 x

8.5. El coeficiente de ajuste

Como hemos visto en el modelo de riesgo a tiempo discreto en el cap´ıtulo
anterior, este coeficiente es un n´umero que aparece en el problema de cal-
cular o estimar probabilidades de ruina. En esta secci´on vamos a definir y
estudiar este coeficiente para el caso del modelo de riesgo a tiempo continuo.
Existen varias maneras de definirlo, una de ellas, un tanto artificial pero que
despu´es justificaremos, es la siguiente: se define primero la funci´on
θ r λ M Y r 1 cr,

en donde M Y r es la funci´on generadora de Y . Naturalmente esta funci´on
est´a bien definida para valores de r en donde M Y r existe. En tal caso, θ r
es diferenciable y se tiene que sus primeras dos derivadas son:

θ r λM Y r c,
2 rY
θ r λM Y r λE Y e 0.
Por lo tanto, θ r es una funci´on estrictamente convexa tal que θ 0 0, y
por la condici´on de ganancia neta, θ 0 λµ c 0. Entonces es posible