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8.4. Severidad de la ruina 215

Proposici´on 8.4 Suponga que la funci´on de distribuci´on F y de las recla-
maciones en el modelo de Cram´er-Lundberg es continua. Entonces, para
x 0,y z 0,
d λ u
1. ϕ u, x, z ϕ u, x, z ϕ u y, x, z dF y
du c 0

1 u x F u z .

λ
2. ϕ 0,x,z F y dy.
c x z

λ u
3. ϕ u, x, z F y dy ϕ u y, x, z F y dy
c u z 0
u z
1 u x F y dy .
x z

Demostraci´on. Usaremos nuevamente an´alisis del primer paso condicio-
nando sobre el monto y momento de la primera reclamaci´on. Dado un valor
t para el momento de la primera reclamaci´on, separaremos tres conjuntos
para el monto de dicha reclamaci´on:

0,u ct u ct, u ct z u ct z, .

En el primer caso no hay ruina y la probabilidad buscada se reduce a la
probabilidad del mismo evento pero ahora con capital inicial u ct y.En
el segundo caso hay ruina pero no es severa en el sentido de que no se cumple
que Z z y por lo tanto la probabilidad ϕ u, x, z es cero. En el tercer caso
hay ruina y se cumple la condici´on Z z, as´ı es que la probabilidad buscada